Karekök Hesaplama
Pozitif ve negatif sayilarin karekokunu hesaplayin. Negatif degerler i ile sanal sayi olarak gosterilir.
Karekök ve negatif sayıların kökü
Her pozitif sayının biri pozitif biri negatif olmak üzere iki karekökü vardır ve kök işareti geleneksel olarak yalnızca pozitif olanı gösterir. Negatif girdilerin ise gerçek kökü yoktur; sanal sayılar tam burada devreye girer ve adının düşündürdüğünden çok daha kullanışlıdırlar.
Formül
n >= 0 için: karekök(n) = x, öyle ki x² = n | n < 0 için: karekök(n) = i x karekök(|n|)
Esas karekök her zaman negatif olmayandır. karekök(25) 5'tir; x² = 25 denkleminin ise hem 5 hem -5 çözümü vardır.
İki kök, tek sembol
Bu ayrım konunun en çok karıştırılan yeridir. karekök(9) = 3'tür, nokta. Ama x² = 9 denkleminin çözümleri x = 3 ve x = -3'tür, yani x = ±3.
Bu kural, karekökün bir fonksiyon olabilmesi için vardır: bir girdiye bir çıktı. Aksi halde kök işareti belirsiz olurdu ve grafiği çizilemezdi.
Pratik sonuç şudur: bir denklemi çözerken iki tarafın karekökünü aldığınızda ± işaretini kendiniz eklemelisiniz. Unutmak çözümlerin yarısını kaybettirir ve fizik problemlerinde atılan kök çoğu zaman anlamlı olandır.
Negatif girdiler ve sanal sayılar
Hiçbir gerçek sayının karesi negatif olmaz, çünkü hem pozitif hem negatif sayılar kare alınınca pozitife döner. Matematik bunu i² = -1 olacak şekilde i sayısını tanımlayarak çözer.
Buna göre karekök(-4) = 2i, karekök(-1) = i ve karekök(-18) = 3i x karekök(2), yani yaklaşık 4,243i olur. Geri kalan her şey beklendiği gibi işler: büyüklük mutlak değerden gelir, i ise işaret bilgisini taşır.
Bir kural bozulur: karekök(a) x karekök(b) = karekök(ab) eşitliği yalnızca a veya b'den en az biri negatif olmadığında geçerlidir. İki negatife uygulamak, karekök(-1) x karekök(-1) = karekök(1) = 1 gibi meşhur bir yanlış sonuç üretir; doğrusu -1'dir.
Adına rağmen sanal sayılar ölçülebilir şeyleri tarif eder. Alternatif akım empedansı, sinyal işleme ve kuantum mekaniği bunlara dayanır.
Hesap makinesiz kök tahmini
Sayıyı iki tam kare arasına sıkıştırıp aradeğerleme yapın. karekök(50) için: 49 = 7², 64 = 8², yani cevap 7'nin biraz üstündedir. Doğrusal aradeğerleme 7 + 1/15 = 7,07 verir, gerçek değer 7,0711'dir.
Daha iyisi için Babil yönteminden bir adım kullanın: bir tahmin g alın, sonra (g + n/g) / 2 ile iyileştirin. karekök(50) için 7'den başlarsanız (7 + 50/7) / 2 = 7,0714 çıkar; tek adımda dört ondalık basamak doğru.
Bu yöntem Newton'dan çok önce biliniyordu ve karesel hızla yakınsar, yani her adımda doğru basamak sayısı kabaca ikiye katlanır.
Örnek hesaplama
Kare bir arsanın alanı 340 m². Kenar uzunluğu nedir?
karekök(340), karekök(324) = 18 ile karekök(361) = 19 arasındadır. 18'den Babil adımı: (18 + 340/18) / 2 = 18,444. İkinci adım: (18,444 + 340/18,444) / 2 = 18,4391. Kenar 18,44 metredir.
Negatif kök -18,44 matematiksel olarak geçerlidir ama burada fiziksel anlamı yoktur; uzunluk negatif olamaz. Uygulamalı problemlerde bir kökü atmanın standart gerekçesi budur ve varsayılmak yerine belirtilmelidir.
Tanınması işe yarayan tam kareler
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 11 | 121 | 17 | 289 |
| 12 | 144 | 18 | 324 |
| 13 | 169 | 19 | 361 |
| 14 | 196 | 20 | 400 |
| 15 | 225 | 25 | 625 |
| 16 | 256 | 30 | 900 |
25'e kadar olan kareleri bilmek sıkıştırma tahminlerini hızlı ve güvenilir hale getirir.
Sıkça Sorulan Sorular
İlgili hesaplayıcılar
Kaynaklar
- NIST Digital Library of Mathematical Functions - temel fonksiyonlar
- IEEE 754-2019 - kayan noktalı aritmetik standardı
Son güncelleme: 2026-08-08. Bu sayfa bilgilendirme amaçlıdır. Hukuki, tıbbi, vergi veya finansal kararlar için sonucu bir uzmana doğrulatın.